디논 - 부울 대수

부울 대수는 조지 불이 창안한 대수학의 한 형식이다 - 

참과 거짓, 1 과 0, high와 low로 표현할 수 있다

 

논리 회로의 입출력 관계를 표현할 때 사용되며, 이를 통해서 출력식을 간소화할 수 있다.

이를 통해 더욱 간단한 논리 회로를 설계할 수 있다.

 

불 대수의 공리 - 

A != 1이면 A = 0, A` = 1

A != 0이면 A = 1, A` = 0

 

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

 

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

 

불 대수의 기본 정리 - 

A`` =  A

A * 0 = 0

A * 1 = A

A * A = A

A * A` =  0

A + 0  = A

A + 1 = 1

A + A = A

A + A` = 1

 

진리표 그리기

 

쌍대 관계 - OR <=> AND , 1 <=> 0 , 논리 변수는 그대로

+ = OR / * = AND

 

교환 법칙 - 연산 순서를 바꾸어도 결과는 같다

 

A * B = B * A

A + B = B + A

 

두 식의 진리표가 같으므로, AND 관계에서 쌍대 관계로 증명 없이 성립함을 알 수 있다

 

 

결합 법칙 - 괄호 안의 결합과 괄호 밖의 결합은 순서를 바꾸어도 결과는 같다

 

A * ( B * C ) = ( A * B ) * C

A + ( B + C ) =  ( A + B ) + C

 

분배 법칙.

A * ( B + C ) = (A * B) + (A * C)     A+(B + C) = (A + B) * (A + C)

괄로로 묶인 논리식 연산에서 괄호 밖의 변숫값이 괄호 안의 변숫값에 공통으로 할당되므로, 다음 식과 같이 분배 법칙이 성립된다.

 

흡수 법칙.

A+( A * B ) = A        A * ( A + B ) = A

A  * B + A * B` = A

(A + B) * (A + B` ) = A

 

드모르간의 법칙.

정리 1 A+B` = A` * B`     정리 2  A * B` = A` + B` 

논리식의 전체 보수를 각 논리 변수에 대해 보수로 바꾼다.

각 논리 상수에 대해 보수를 취한다. 즉, 논리 상수 1 은 0 으로, 0은 1로 바꾼다.

AND 연산은 OR 연산으로,  OR 연산은 AND 연산으로 바꾼다.

 

논리 변수가 n개 일때 2*n 개의 논리 곱 항을 얻을 수 있는데, 논리곱 항을 최소항이라고 한다.

 

최소항.

A * B ,  A * B`  A` *  B   A` * B`

이중 1인것만을 쓴다.

Y=A * B  (A=1 B=1)

이중 표시 기호는 m (소문자)로 표시한다. 그리고 그것은 3변수라면 A * B * C = m7 처럼 표기한다.

변수는 OR, 항끼리는 AND 를 한다.

 

최대항.

위의 논리 합을 보수를 취한것을 말함.

0은 1로, 1은 0으로 변환하여 `

여기서는 표시 기호를 m이 아닌 M으로 표기한다.

Y= ( A + B ) * ( A + B` ) 

그리고 여기서는 변수끼리는 OR, 항끼리는 AND  를 사용한다.